Riemannbollen
Riemannbollen
Niet om het geheel onbegrijpelijk, of nodeloos ingewikkeld te maken, maar er bestaat (althans binnen wiskundige gedachten) iets als de Riemannsfeer.
Dat is een bol wiens zuidpool zich in 0 bevindt en wiens noordpool complexe oneindigheid voorstelt.
0 + 0i = zuidpool, of oorsprong
+-oo +- ooi = noordpool, of complexe oneindigheid.
Alsof je een sinaasappel in een vierkant stuk folie probeert te pakken, en je weet voor te stellen dat het lukt. Zoiets.
Elke lijn die ik op het platte stuk folie weet te tekenen, vormt een cirkel op de Riemannbol. De uiteinden van mijn (oneindige) lijn ontmoeten elkaar op de noordpool. (dus -oo en + oo ontmoeten elkaar daar, nooit)
Elke cirkel die ik op mijn platte folie teken, en elke cirkel die ik erdoorheen teken, zijn op de Riemannbol ook cirkels, zelfs met behoud van hoeken van loodlijnen en raaklijken.
Leuk. Interessant. Maar wat moeten we ermee?
Moeten niks, maar het gaat om het kunnen, je kunt je er iets bij voorstellen.
Wat, dat wil ik aan je eigen fantasie overlaten.
Probeer gewoon eens een logische paradox in je hoofd op de Riemannbol uit te leggen, zodat ik hem ook begrijp.
(Ik zie de bol nu voor mijn neus, dus het enige waar ik moeite mee kan hebben is jouw projectie.)
Besef echter wel, dat je vanuit het zuiden kan vertrekken, maar nimmer en nooit op de noordpool kunt belanden.
Niemand weet waar de noordpool is.
De beste benadering is misschien nog wel die van een computer, als je hem vraagt vraagt wat float(90gradenNB,0 graden O/W-lengte) is.
En dit is natuurlijk een preambule voor een volgend artikel.
Nu heb ik tenminste alvast iets om op terug te wijzen.
Dat is een bol wiens zuidpool zich in 0 bevindt en wiens noordpool complexe oneindigheid voorstelt.
0 + 0i = zuidpool, of oorsprong
+-oo +- ooi = noordpool, of complexe oneindigheid.
Alsof je een sinaasappel in een vierkant stuk folie probeert te pakken, en je weet voor te stellen dat het lukt. Zoiets.
Elke lijn die ik op het platte stuk folie weet te tekenen, vormt een cirkel op de Riemannbol. De uiteinden van mijn (oneindige) lijn ontmoeten elkaar op de noordpool. (dus -oo en + oo ontmoeten elkaar daar, nooit)
Elke cirkel die ik op mijn platte folie teken, en elke cirkel die ik erdoorheen teken, zijn op de Riemannbol ook cirkels, zelfs met behoud van hoeken van loodlijnen en raaklijken.
Leuk. Interessant. Maar wat moeten we ermee?
Moeten niks, maar het gaat om het kunnen, je kunt je er iets bij voorstellen.
Wat, dat wil ik aan je eigen fantasie overlaten.
Probeer gewoon eens een logische paradox in je hoofd op de Riemannbol uit te leggen, zodat ik hem ook begrijp.
(Ik zie de bol nu voor mijn neus, dus het enige waar ik moeite mee kan hebben is jouw projectie.)
Besef echter wel, dat je vanuit het zuiden kan vertrekken, maar nimmer en nooit op de noordpool kunt belanden.
Niemand weet waar de noordpool is.
De beste benadering is misschien nog wel die van een computer, als je hem vraagt vraagt wat float(90gradenNB,0 graden O/W-lengte) is.
En dit is natuurlijk een preambule voor een volgend artikel.
Nu heb ik tenminste alvast iets om op terug te wijzen.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Hallo,
De afbeelding van de bol op het platte vlak geeft iets van een circulaire logaritmische verdeling dan toch?
Waarbij uiteindelijk in Euclidische ruimte voor de noordpool geen afbeelding is, want het axioma is dat parallelen elkaar nooit raken.
Anders dus in niet-Euclidische ruimten waar parallellen elkaar wel raken/snijden etc.
Maar die "sfeer". Binnen de kwantummechanica waar is die van belang voor? Ik zou eerder denken dat het handig is bij zwaartekrachtberekeningen tussen bolvormige planeten en zo.
De afbeelding van de bol op het platte vlak geeft iets van een circulaire logaritmische verdeling dan toch?
Waarbij uiteindelijk in Euclidische ruimte voor de noordpool geen afbeelding is, want het axioma is dat parallelen elkaar nooit raken.
Anders dus in niet-Euclidische ruimten waar parallellen elkaar wel raken/snijden etc.
Maar die "sfeer". Binnen de kwantummechanica waar is die van belang voor? Ik zou eerder denken dat het handig is bij zwaartekrachtberekeningen tussen bolvormige planeten en zo.
Hoi Leon,Leon schreef:Hallo,
De afbeelding van de bol op het platte vlak geeft iets van een circulaire logaritmische verdeling dan toch?
Ehm ... ja, dat klopt, als je bedoelt dat als je "onderaan" de cirkel vertrekt en via de omtrek "naar boven loopt" je steeds langzamer gaat en uiteindelijk nooit "bovenaan" komt. (Overigens iets anders dan de Zeno-paradox, maar er wel verband mee houdend.)
Het is een postulaat, niet direct een axioma, wat eigenlijk al aangeeft dat zelfs Euclides er al niet zeker van was. (En het is, strikt genomen, ook niet nodig.)Waarbij uiteindelijk in Euclidische ruimte voor de noordpool geen afbeelding is, want het axioma is dat parallelen elkaar nooit raken.
Binnen niet Euclidische ruimten raken en snijden ze ook niet, maar van hun projecties is dat niet zeker.Anders dus in niet-Euclidische ruimten waar parallellen elkaar wel raken/snijden etc.
Voor zover ik het begrijp, helpt het vergelijkingen te vereenvoudigen.Maar die "sfeer". Binnen de kwantummechanica waar is die van belang voor? Ik zou eerder denken dat het handig is bij zwaartekrachtberekeningen tussen bolvormige planeten en zo.
Naar hetzelfde idee hoe Galileo van het Ptolemaeusiaanse model kon afstappen door een ander referentiekader te gebruiken.
Ik denk dat ik bij het schrijven van mijn eerste post dacht, dat het misschien behulpzaam kon zijn voor mensen die denken te kunnen rekenen met oneindig. Het zou circulaire redenaties aan kunnen tonen.
Hoe? Dat weet ik nog niet. Ik verwacht er nog wel eens voorbeelden van te kunnen vinden. Maar die komen denk ik pas als ik het zelf pas "echt" goed begrijp.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Waarom snijden/raken ze niet in niet-Euclidische ruimte? Omdat het projecties zijn?
Het idee was toch juist dat niet-Euclidische ruimte het parallellen-axioma zodanig heeft dat parallelle lijnen elkaar wel raken/snijden?
Ik bedoel hoe wil je twee op de zelfde manier gekromden vlakken op enige afstand van elkaar niet laten snijden? Het "mag" misschien niet, zodat de ruimte dus transformeert, maar dat is eerder fysica dan wiskunde...
Het idee was toch juist dat niet-Euclidische ruimte het parallellen-axioma zodanig heeft dat parallelle lijnen elkaar wel raken/snijden?
Ik bedoel hoe wil je twee op de zelfde manier gekromden vlakken op enige afstand van elkaar niet laten snijden? Het "mag" misschien niet, zodat de ruimte dus transformeert, maar dat is eerder fysica dan wiskunde...
Dat laatste symbool ((Leon schreef:Het niet-snijden van gellijk gekromde oppervlakten kan alleen als hun bolling tegengesteld is....
)(,
(( snijdt altijdt ergens in de verte.
heeft veel weg van een lepeltje lepeltje houding.
Een innige tedere koesterend omarming - ik zou dat geen snijden willen noemen, eerder (aan)raken zowel fysiek als intermenselijk.
Een tegengestelde houding )( kan een snijdige botsing zijn, maar ook een innige (aan)raking.
Dit is volmaakt, Dat is volmaakt.
Om over (| en )| maar te zwijgen, of combinaties ervan.
|| vervormt het beeld niet als het goed is.
En |(() ())| geeft weer een groot beeldveld, in een Plössl oculair.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Eyepiece# ... etrical.22)
Als je treinrails elkaar aan de horizon ziet snijden, weet je dat de aarde plat is.
Het postulaat geldt dan ook alleen in Euclidische ruimten, maar daar is ze in wezen overbodig, min of meer volgt ze uit de overige vier axioma's en is als op zichzelf staand axioma niet nodig.
Ik bedenk me nog, dat de "stijlen"van de DNA ladder ook evenwijdig lopen, teken ik ze op een cilinder kan ik keurig rechte evenwijdige lijnen tekenen, projecteer ik naar 2d, krijg ik een soort van uit fase verschoven sinussen te zien met een heleboel knooppunten.
Het houdt denk ik ook een beetje verband met het voorbeeld van Plato en zijn grot; aan de vorm van de afbeeldingen valt de ware natuur ervan niet direct af te leiden. Zoiets.
Maar dit is een subject waar ik nog druk mee bezig ben, ik weet dus niet hoe zuiver dit voorbeeld is.
|| vervormt het beeld niet als het goed is.
En |(() ())| geeft weer een groot beeldveld, in een Plössl oculair.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Eyepiece# ... etrical.22)
Als je treinrails elkaar aan de horizon ziet snijden, weet je dat de aarde plat is.
Leon schreef:Het idee was toch juist dat niet-Euclidische ruimte het parallellen-axioma zodanig heeft dat parallelle lijnen elkaar wel raken/snijden?
In gekromde ruimten zijn er oneindig veel lijnen mogelijk (of nul), er is geen unieke aan te wijzen die enkel de eigenschap bezit evenwijdig aan m en door P te lopen.Wikipedia, lemma: Parallellenpostulaat schreef:Dit postulaat ontleent zijn naam aan de equivalente stelling: gegeven een lijn m en een niet op de lijn gelegen punt P, dan is er een unieke lijn k door P evenwijdig aan m.
Het postulaat geldt dan ook alleen in Euclidische ruimten, maar daar is ze in wezen overbodig, min of meer volgt ze uit de overige vier axioma's en is als op zichzelf staand axioma niet nodig.
Als ik die lijnen projecteer naar een Euclidische ruimte, hoeven ze niet meer parallel te zijn, wat ik hierboven aangaf met mijn treinrailsvoorbeeld.Leon schreef:Waarom snijden/raken ze niet in niet-Euclidische ruimte? Omdat het projecties zijn?
Ik bedenk me nog, dat de "stijlen"van de DNA ladder ook evenwijdig lopen, teken ik ze op een cilinder kan ik keurig rechte evenwijdige lijnen tekenen, projecteer ik naar 2d, krijg ik een soort van uit fase verschoven sinussen te zien met een heleboel knooppunten.
Het houdt denk ik ook een beetje verband met het voorbeeld van Plato en zijn grot; aan de vorm van de afbeeldingen valt de ware natuur ervan niet direct af te leiden. Zoiets.
Maar dit is een subject waar ik nog druk mee bezig ben, ik weet dus niet hoe zuiver dit voorbeeld is.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
HAHaaha!Leon schreef:Nou afbeeldingen kunnen weer kunst zijn of niet.
Dank je, dat had ik net even nodig, een grote grijns op mijn gezicht!
Is kunst gebonden aan postulaten?
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
HM
En ik maar telkens "Deus Ex" ervoor plakken.
Ik ben bang dat die films mijn hoofd aan het koken gaan brengen.
Misschien in de zomer maar eens kijken, valt het temperatuurverschil niet zo op.
En ik maar telkens "Deus Ex" ervoor plakken.
Ik ben bang dat die films mijn hoofd aan het koken gaan brengen.
Misschien in de zomer maar eens kijken, valt het temperatuurverschil niet zo op.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Begrijpen en verstaan is hetzelfde als meten zonder gissen.
Wie is er online
Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 7 gasten